⑴ 公鑰密碼系統及RSA公鑰演算法
公鑰密碼系統及RSA公鑰演算法
本文簡單介紹了公開密鑰密碼系統的思想和特點，並具體介紹了RSA演算法的理論基礎，工作原理和具體實現過程，並通過一個簡單例子說明了該演算法是如何實現。在本文的最後，概括說明了RSA演算法目前存在的一些缺點和解決方法。
關鍵詞：公鑰密碼體制 ， 公鑰 ，私鑰 ，RSA
§1引言
隨著計算機聯網的逐步實現，Internet前景越來越美好，全球經濟發展正在進入信息經濟時代，知識經濟初見端倪。計算機信息的保密問題顯得越來越重要，無論是個人信息通信還是電子商務發展，都迫切需要保證Internet網上信息傳輸的安全，需要保證信息安全。信息安全技術是一門綜合學科，它涉及資訊理論、計算機科學和密碼學等多方面知識，它的主要任務是研究計算機系統和通信網路內信息的保護方法以實現系統內信息的安全、保密、真實和完整。其中，信息安全的核心是密碼技術。密碼技術是集數學、計算機科學、電子與通信等諸多學科於一身的交叉學科。它不僅能夠保證機密性信息的加密，而且能夠實現數字簽名、身份驗證、系統安全等功能。是現代化發展的重要科學之一。本文將對公鑰密碼系統及該系統中目前最廣泛流行的RSA演算法做一些簡單介紹。
§2公鑰密碼系統
要說明公鑰密碼系統，首先來了解一下不同的加密演算法：目前的加密演算法按密鑰方式可分為單鑰密碼演算法和公鑰密碼演算法。
2.1.單鑰密碼
又稱對稱式密碼，是一種比較傳統的加密方式，其加密運算、解密運算使用的是同樣的密鑰，信息的發送者和信息的接收者在進行信息的傳輸與處理時，必須共同持有該密碼（稱為對稱密碼）。因此，通信雙方都必須獲得這把鑰匙，並保持鑰匙的秘密。
單鑰密碼系統的安全性依賴於以下兩個因素：第一，加密演算法必須是足夠強的，僅僅基於密文本身去解密信息在實踐上是不可能的；第二，加密方法的安全性依賴於密鑰的秘密性，而不是演算法的秘密性，因此，我們沒有必要確保演算法的秘密性（事實上，現實中使用的很多單鑰密碼系統的演算法都是公開的），但是我們一定要保證密鑰的秘密性。
從單鑰密碼的這些特點我們容易看出它的主要問題有兩點：第一，密鑰量問題。在單鑰密碼系統中，每一對通信者就需要一對密鑰，當用戶增加時，必然會帶來密鑰量的成倍增長，因此在網路通信中，大量密鑰的產生﹑存放和分配將是一個難以解決的問題。第二，密鑰分發問題。單鑰密碼系統中，加密的安全性完全依賴於對密鑰的保護，但是由於通信雙方使用的是相同的密鑰，人們又不得不相互交流密鑰，所以為了保證安全，人們必須使用一些另外的安全信道來分發密鑰，例如用專門的信使來傳送密鑰，這種做法的代價是相當大的，甚至可以說是非常不現實的，尤其在計算機網路環境下，人們使用網路傳送加密的文件，卻需要另外的安全信道來分發密鑰，顯而易見，這是非常不智是甚至是荒謬可笑的。
2.2公鑰密碼
正因為單鑰密碼系統存在如此難以解決的缺點，發展一種新的﹑更有效﹑更先進的密碼體制顯得更為迫切和必要。在這種情況下，出現了一種新的公鑰密碼體制，它突破性地解決了困擾著無數科學家的密鑰分發問題，事實上，在這種體制中，人們甚至不用分發需要嚴格保密的密鑰，這次突破同時也被認為是密碼史上兩千年來自單碼替代密碼發明以後最偉大的成就。
這一全新的思想是本世紀70年代，美國斯坦福大學的兩名學者Diffie和Hellman提出的，該體制與單鑰密碼最大的不同是：
在公鑰密碼系統中，加密和解密使用的是不同的密鑰（相對於對稱密鑰，人們把它叫做非對稱密鑰），這兩個密鑰之間存在著相互依存關系：即用其中任一個密鑰加密的信息只能用另一個密鑰進行解密。這使得通信雙方無需事先交換密鑰就可進行保密通信。其中加密密鑰和演算法是對外公開的，人人都可以通過這個密鑰加密文件然後發給收信者，這個加密密鑰又稱為公鑰；而收信者收到加密文件後,它可以使用他的解密密鑰解密，這個密鑰是由他自己私人掌管的，並不需要分發，因此又成稱為私鑰，這就解決了密鑰分發的問題。
為了說明這一思想,我們可以考慮如下的類比：
兩個在不安全信道中通信的人，假設為Alice（收信者）和Bob（發信者），他們希望能夠安全的通信而不被他們的敵手Oscar破壞。Alice想到了一種辦法，她使用了一種鎖（相當於公鑰），這種鎖任何人只要輕輕一按就可以鎖上，但是只有Alice的鑰匙（相當於私鑰）才能夠打開。然後Alice對外發送無數把這樣的鎖，任何人比如Bob想給她寄信時，只需找到一個箱子，然後用一把Alice的鎖將其鎖上再寄給Alice，這時候任何人（包括Bob自己）除了擁有鑰匙的Alice，都不能再打開箱子，這樣即使Oscar能找到Alice的鎖，即使Oscar能在通信過程中截獲這個箱子，沒有Alice的鑰匙他也不可能打開箱子，而Alice的鑰匙並不需要分發，這樣Oscar也就無法得到這把「私人密鑰」。
從以上的介紹可以看出，公鑰密碼體制的思想並不復雜，而實現它的關鍵問題是如何確定公鑰和私鑰及加/解密的演算法，也就是說如何找到「Alice的鎖和鑰匙」的問題。我們假設在這種體制中, PK是公開信息，用作加密密鑰，而SK需要由用戶自己保密，用作解密密鑰。加密演算法E和解密演算法D也都是公開的。雖然SK與PK是成對出現，但卻不能根據PK計算出SK。它們須滿足條件：
①加密密鑰PK對明文X加密後，再用解密密鑰SK解密，即可恢復出明文，或寫為：DSK（EPK（X））=X
②加密密鑰不能用來解密，即DPK（EPK（X））≠X
③在計算機上可以容易地產生成對的PK和SK。
④從已知的PK實際上不可能推導出SK。
⑤加密和解密的運算可以對調，即：EPK（DSK（X））=X
從上述條件可看出，公開密鑰密碼體制下，加密密鑰不等於解密密鑰。加密密鑰可對外公開，使任何用戶都可將傳送給此用戶的信息用公開密鑰加密發送，而該用戶唯一保存的私人密鑰是保密的，也只有它能將密文復原、解密。雖然解密密鑰理論上可由加密密鑰推算出來，但這種演算法設計在實際上是不可能的，或者雖然能夠推算出，但要花費很長的時間而成為不可行的。所以將加密密鑰公開也不會危害密鑰的安全。
這種體制思想是簡單的，但是，如何找到一個適合的演算法來實現這個系統卻是一個真正困擾密碼學家們的難題，因為既然Pk和SK是一對存在著相互關系的密鑰，那麼從其中一個推導出另一個就是很有可能的，如果敵手Oscar能夠從PK推導出SK，那麼這個系統就不再安全了。因此如何找到一個合適的演算法生成合適的Pk和SK，並且使得從PK不可能推導出SK，正是迫切需要密碼學家們解決的一道難題。這個難題甚至使得公鑰密碼系統的發展停滯了很長一段時間。
為了解決這個問題，密碼學家們考慮了數學上的陷門單向函數，下面，我們可以給出它的非正式定義：
Alice的公開加密函數應該是容易計算的，而計算其逆函數（即解密函數）應該是困難的（對於除Alice以外的人）。許多形式為Y=f（x）的函數，對於給定的自變數x值，很容易計算出函數Y的值；而由給定的Y值，在很多情況下依照函數關系f (x)計算x值十分困難。這樣容易計算但難於求逆的函數，通常稱為單向函數。在加密過程中，我們希望加密函數E為一個單項的單射函數，以便可以解密。雖然目前還沒有一個函數能被證明是單向的，但是有很多單射函數被認為是單向的。
例如，有如下一個函數被認為是單向的，假定n為兩個大素數p和q的乘積，b為一個正整數，那麼定義f：
f (x )= x b mod n
(如果gcd（b,φ（n））=1，那麼事實上這就是我們以下要說的RSA加密函數)
如果我們要構造一個公鑰密碼體制，僅給出一個單向的單射函數是不夠的。從Alice的觀點來看，並不需要E是單向的，因為它需要用有效的方式解密所收到的信息。因此，Alice應該擁有一個陷門，其中包含容易求出E的你函數的秘密信息。也就是說，Alice可以有效解密，因為它有額外的秘密知識，即SK，能夠提供給你解密函數D。因此，我們稱一個函數為一個陷門單向函數，如果它是一個單向函數，並在具有特定陷門的知識後容易求出其逆。
考慮上面的函數f (x) = xb mod n。我們能夠知道其逆函數f -1有類似的形式f (x ) = xa mod n，對於合適的取值a。陷門就是利用n的因子分解，有效的算出正確的指數a（對於給定的b）。
為方便起見，我們把特定的某類陷門單向函數計為?。那麼隨機選取一個函數f屬於?，作為公開加密函數；其逆函數f-1是秘密解密函數。那麼公鑰密碼體制就能夠實現了。
根據以上關於陷門單向函數的思想,學者們提出了許多種公鑰加密的方法，它們的安全性都是基於復雜的數學難題。根據所基於的數學難題，至少有以下三類系統目前被認為是安全和有效的：大整數因子分解系統(代表性的有RSA)、橢園曲線離散對數系統(ECC)和離散對數系統(代表性的有DSA)。
§3 RSA演算法
3.1簡介
當前最著名、應用最廣泛的公鑰系統RSA是在1978年，由美國麻省理工學院(MIT)的Rivest、Shamir和Adleman在題為《獲得數字簽名和公開鑰密碼系統的方法》的論文中提出的。它是一個基於數論的非對稱(公開鑰)密碼體制，是一種分組密碼體制。其名稱來自於三個發明者的姓名首字母。它的安全性是基於大整數素因子分解的困難性，而大整數因子分解問題是數學上的著名難題，至今沒有有效的方法予以解決，因此可以確保RSA演算法的安全性。RSA系統是公鑰系統的最具有典型意義的方法，大多數使用公鑰密碼進行加密和數字簽名的產品和標准使用的都是RSA演算法。
RSA演算法是第一個既能用於數據加密也能用於數字簽名的演算法，因此它為公用網路上信息的加密和鑒別提供了一種基本的方法。它通常是先生成一對RSA密鑰，其中之一是保密密鑰，由用戶保存；另一個為公開密鑰，可對外公開，甚至可在網路伺服器中注冊，人們用公鑰加密文件發送給個人，個人就可以用私鑰解密接受。為提高保密強度，RSA密鑰至少為500位長，一般推薦使用1024位。
該演算法基於下面的兩個事實,這些事實保證了RSA演算法的安全有效性：
1)已有確定一個數是不是質數的快速演算法；
2)尚未找到確定一個合數的質因子的快速演算法。
3.2工作原理
1)任意選取兩個不同的大質數p和q，計算乘積r=p*q；
2)任意選取一個大整數e，e與(p-1)*(q-1)互質，整數e用做加密密鑰。注意：e的選取是很容易的，例如，所有大於p和q的質數都可用。
3)確定解密密鑰d：d * e = 1 molo（p - 1）*（q - 1） 根據e、p和q可以容易地計算出d。
4)公開整數r和e，但是不公開d；
5)將明文P (假設P是一個小於r的整數)加密為密文C，計算方法為：
C = Pe molo r
6)將密文C解密為明文P，計算方法為：
P = Cd molo r
然而只根據r和e（不是p和q）要計算出d是不可能的。因此，任何人都可對明文進行加密，但只有授權用戶（知道d）才可對密文解密。
3.3簡單實例
為了說明該演算法的工作過程,我們下面給出一個簡單例子,顯然我們在這只能取很小的數字，但是如上所述，為了保證安全，在實際應用上我們所用的數字要大的多得多。
例：選取p=3, q=5，則r=15，（p-1）*（q-1）=8。選取e=11（大於p和q的質數），通過d * 11 = 1 molo 8，計算出d =3。
假定明文為整數13。則密文C為
C = Pe molo r
= 1311 molo 15
= 1,792,160,394,037 molo 15
= 7
復原明文P為：
P = Cd molo r
= 73 molo 15
= 343 molo 15
= 13
因為e和d互逆，公開密鑰加密方法也允許採用這樣的方式對加密信息進行"簽名"，以便接收方能確定簽名不是偽造的。
假設A和B希望通過公開密鑰加密方法進行數據傳輸，A和B分別公開加密演算法和相應的密鑰，但不公開解密演算法和相應的密鑰。A和B的加密演算法分別是ECA和ECB，解密演算法分別是DCA和DCB，ECA和DCA互逆，ECB和DCB互逆。 若A要向B發送明文P，不是簡單地發送ECB（P），而是先對P施以其解密演算法DCA，再用加密演算法ECB對結果加密後發送出去。
密文C為：
C = ECB（DCA（P））
B收到C後，先後施以其解密演算法DCB和加密演算法ECA，得到明文P：
ECA（DCB（C））
= ECA（DCB（ECB（DCA（P））））
= ECA（DCA（P））/*DCB和ECB相互抵消*/
=
P /*DCB和ECB相互抵消*/
這樣B就確定報文確實是從A發出的，因為只有當加密過程利用了DCA演算法，用ECA才能獲得P，只有A才知道DCA演算法，沒 有人，即使是B也不能偽造A的簽名。
3.4優缺點
3.4.1優點
RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。該演算法的加密密鑰和加密演算法分開，使得密鑰分配更為方便。它特別符合計算機網路環境。對於網上的大量用戶，可以將加密密鑰用電話簿的方式印出。如果某用戶想與另一用戶進行保密通信，只需從公鑰簿上查出對方的加密密鑰，用它對所傳送的信息加密發出即可。對方收到信息後，用僅為自己所知的解密密鑰將信息脫密，了解報文的內容。由此可看出，RSA演算法解決了大量網路用戶密鑰管理的難題，這是公鑰密碼系統相對於對稱密碼系統最突出的優點。
3.4.2缺點
1)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。
2)安全性, RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。目前，人們已能分解140多個十進制位的大素數，這就要求使用更長的密鑰，速度更慢；另外，目前人們正在積極尋找攻擊RSA的方法，如選擇密文攻擊，一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝(Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：
( XM )d = Xd *Md mod n
前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用One-Way Hash Function對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。除了利用公共模數，人們還嘗試一些利用解密指數或φ（n）等等攻擊.
3)速度太慢,由於RSA的分組長度太大，為保證安全性，n至少也要600 bitx以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於數據格式的標准化。目前，SET(Secure Electronic Transaction)協議中要求CA採用2048比特長的密鑰，其他實體使用1024比特的密鑰。為了速度問題,目前人們廣泛使用單,公鑰密碼結合使用的方法,優缺點互補:單鑰密碼加密速度快,人們用它來加密較長的文件,然後用RSA來給文件密鑰加密,極好的解決了單鑰密碼的密鑰分發問題。
§4結束語
目前，日益激增的電子商務和其它網際網路應用需求使公鑰體系得以普及，這些需求量主要包括對伺服器資源的訪問控制和對電子商務交易的保護，以及權利保護、個人隱私、無線交易和內容完整性（如保證新聞報道或股票行情的真實性）等方面。公鑰技術發展到今天，在市場上明顯的發展趨勢就是PKI與操作系統的集成，PKI是「Public
Key Infrastructure」的縮寫，意為「公鑰基礎設施」。公鑰體制廣泛地用於CA認證、數字簽名和密鑰交換等領域。
公鑰加密演算法中使用最廣的是RSA。RSA演算法研製的最初理念與目標是努力使互聯網安全可靠，旨在解決DES演算法秘密密鑰的利用公開信道傳輸分發的難題。而實際結果不但很好地解決了這個難題；還可利用RSA來完成對電文的數字簽名以抗對電文的否認與抵賴；同時還可以利用數字簽名較容易地發現攻擊者對電文的非法篡改，以保護數據信息的完整性。目前為止，很多種加密技術採用了RSA演算法，該演算法也已經在互聯網的許多方面得以廣泛應用，包括在安全介面層（SSL）標准（該標準是網路瀏覽器建立安全的互聯網連接時必須用到的）方面的應用。此外，RSA加密系統還可應用於智能IC卡和網路安全產品。
但目前RSA演算法的專利期限即將結束，取而代之的是基於橢圓曲線的密碼方案（ECC演算法）。較之於RSA演算法，ECC有其相對優點，這使得ECC的特性更適合當今電子商務需要快速反應的發展潮流。此外，一種全新的量子密碼也正在發展中。
至於在實際應用中應該採用何種加密演算法則要結合具體應用環境和系統，不能簡單地根據其加密強度來做出判斷。因為除了加密演算法本身之外，密鑰合理分配、加密效率與現有系統的結合性以及投入產出分析都應在實際環境中具體考慮。加密技術隨著網路的發展更新，將有更安全更易於實現的演算法不斷產生，為信息安全提供更有力的保障。今後，加密技術會何去何從，我們將拭目以待。
參考文獻：
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[5]黑客中級教程系列之十.http://www.qqorg.i-p.com/jiaocheng/10.html
⑵ 國密演算法
國密即國家密碼局認定的國產密碼演算法。主要有SM1，SM2，SM3，SM4。密鑰長度和分組長度均為128位。
SM1 為對稱加密。其加密強度與AES相當。該演算法不公開，調用該演算法時，需要通過加密晶元的介面進行調用。
SM2為非對稱加密，基於ECC。該演算法已公開。由於該演算法基於ECC，故其簽名速度與秘鑰生成速度都快於RSA。ECC 256位（SM2採用的就是ECC 256位的一種）安全強度比RSA 2048位高，但運算速度快於RSA。
國家密碼管理局公布的公鑰演算法，其加密強度為256位
SM3 消息摘要。可以用MD5作為對比理解。該演算法已公開。校驗結果為256位。
SM4 無線區域網標準的分組數據演算法。對稱加密，密鑰長度和分組長度均為128位。
由於SM1、SM4加解密的分組大小為128bit，故對消息進行加解密時，若消息長度過長，需要進行分組，要消息長度不足，則要進行填充。
分組密碼演算法(DES和SM4)、將明文數據按固定長度進行分組，然後在同一密鑰控制下逐組進行加密，
公鑰密碼演算法(RSA和SM2)、公開加密演算法本身和公開公鑰，保存私鑰
摘要演算法(SM3 md5) 這個都比較熟悉，用於數字簽名，消息認證，數據完整性，但是sm3安全度比md5高
總得來說國密演算法的安全度比較高，2010年12月推出，也是國家安全戰略，現在銀行都要要求國際演算法改造，要把國際演算法都給去掉
C 語言實現
https://github.com/guan/GmSSL/
Go 語言
https://github.com/tjfoc/gmsm
https://github.com/ZZMarquis/gm
Java 語言
https://github.com/PopezLotado/SM2Java
Go語言實現，調用 gmsm
⑶ 公鑰密碼體制中使用的密鑰個數為幾個
只有一個。這個也稱為對稱加密。加密與解密使用一個相同的秘鑰。與其對應的說非對稱加密，加解密使用不同的秘鑰。
⑷ 公鑰 私鑰各是什麼格式的文件
公鑰和私鑰
1，公鑰和私鑰成對出現
2，公開的密鑰叫公鑰，只有自己知道的叫私鑰
3，用公鑰加密的數據只有對應的私鑰可以解密
4，用私鑰加密的數據只有對應的公鑰可以解密
5，如果可以用公鑰解密，則必然是對應的私鑰加的密
6，如果可以用私鑰解密，則必然是對應的公鑰加的密
假設一下，我找了兩個數字，一個是1，一個是2。我喜歡2這個數字，就保留起來，不告訴你們，然後我告訴大家，1是我的公鑰。
我有一個文件，不能讓別人看，我就用1加密了。別人找到了這個文件，但是他不知道2就是解密的私鑰啊，所以他解不開，只有我可以用數字2，就是我的私鑰，來解密。這樣我就可以保護數據了。
我的好朋友x用我的公鑰1加密了字元a，加密後成了b，放在網上。別人偷到了這個文件，但是別人解不開，因為別人不知道2就是我的私鑰，只有我才能解密，解密後就得到a。這樣，我們就可以傳送加密的數據了。
現在我們知道用公鑰加密，然後用私鑰來解密，就可以解決安全傳輸的問題了。如果我用私鑰加密一段數據（當然只有我可以用私鑰加密，因為只有我知道2是我的私鑰），結果所有的人都看到我的內容了，因為他們都知道我的公鑰是1，那麼這種加密有什麼用處呢？
但是我的好朋友x說有人冒充我給他發信。怎麼辦呢？我把我要發的信，內容是c，用我的私鑰2，加密，加密後的內容是d，發給x，再告訴他解密看是不是c。他用我的公鑰1解密，發現果然是c。這個時候，他會想到，能夠用我的公鑰解密的數據，必然是用我的私鑰加的密。只有我知道我得私鑰，因此他就可以確認確實是我發的東西。這樣我們就能確認發送方身份了。這個過程叫做數字簽名。當然具體的過程要稍微復雜一些。用私鑰來加密數據，用途就是數字簽名。
好，我們復習一下：
1，公鑰私鑰成對出現
2，私鑰只有我知道
3，大家可以用我的公鑰給我發加密的信了
4，大家用我的公鑰解密信的內容，看看能不能解開，能解開，說明是經過我的私鑰加密了，就可以確認確實是我發的了。
總結一下結論：
1，用公鑰加密數據，用私鑰來解密數據
2，用私鑰加密數據（數字簽名），用公鑰來驗證數字簽名。
在實際的使用中，公鑰不會單獨出現，總是以數字證書的方式出現，這樣是為了公鑰的安全性和有效性。
數字證書的原理
數字證書採用公鑰體制，即利用一對互相匹配的密鑰進行加密、解密。每個用戶自己設定一把特定的僅為本人所知的私有密鑰（私鑰），用它進行解密和簽名；同時設定一把公共密鑰（公鑰）並由本人公開，為一組用戶所共享，用於加密和驗證簽名。當發送一份保密文件時，發送方使用接收方的公鑰對數據加密，而接收方則使用自己的私鑰解密，這樣信息就可以安全無誤地到達目的地了。通過數字的手段保證加密過程是一個不可逆過程,即只有用私有密鑰才能解密. 在公開密鑰密碼體制中，常用的一種是RSA體制。
用戶也可以採用自己的私鑰對信息加以處理，由於密鑰僅為本人所有，這樣就產生了別人無法生成的文件，也就形成了數字簽名。採用數字簽名，能夠確認以下兩點：
（1）保證信息是由簽名者自己簽名發送的，簽名者不能否認或難以否認；
（2）保證信息自簽發後到收到為止未曾作過任何修改，簽發的文件是真實文件。
我的解釋：
每個用戶都有一對私鑰和公鑰。
私鑰用來進行解密和簽名，是給自己用的。
公鑰由本人公開，用於加密和驗證簽名，是給別人用的。
當該用戶發送文件時，用私鑰簽名，別人用他給的公鑰解密，可以保證該信息是由他發送的。即數字簽名。
當該用戶接受文件時，別人用他的公鑰加密，他用私鑰解密，可以保證該信息只能由他接收到。可以避免被其他人看到。
數字證書
是數字形式的標識，與護照或駕駛員執照十分相似。數字證書是數字憑據，它提供有關實體標識的信息以及其他支持信息。數字證書是由成為證書頒發機構（CA）的權威機構頒發的。由於數字證書有證書權威機構頒發，因此由該權威機構擔保證書信息的有效性。此外，數字證書只在特定的時間段內有效。
數字證書包含證書中所標識的實體的公鑰（就是說你的證書里有你的公鑰），由於證書將公鑰與特定的個人匹配，並且該證書的真實性由頒發機構保證（就是說可以讓大家相信你的證書是真的），因此，數字證書為如何找到用戶的公鑰並知道它是否有效這一問題提供了解決方案。
綜上所述,公鑰 私鑰都是保存在數字證書之中的,並不以單獨的文件格式存在.
⑸ 密碼技術（十一）之密鑰
——秘密的精華
在使用對稱密碼、公鑰密碼、消息認證碼、數字簽名等密碼技術使用，都需要一個稱為 密鑰 的巨大數字。然而，數字本身的大小並不重要，重要的是 密鑰空間的大小 ，也就是可能出現的密鑰的總數量，因為密鑰空間越大，進行暴力破解就越困難。密鑰空間的大小是由 密鑰長度 決定的。
對稱密碼DES的密鑰的實質長度為56比特（7個位元組）。
例如，
一個DES密鑰用二進制可以表示為：
01010001 11101100 01001011 00010010 00111101 01000010 00000011
用十六進制則可以表示為：
51 EC 4B 12 3D 42 03
而用十進制則可以表示為：
2305928028626269955
在對稱密碼三重DES中，包括使用兩個DES密鑰的DES-EDE2和使用三個DES密鑰的DES-EDE3這兩種方式。
DES-EDE2的密鑰長度實質長度為112比特（14位元組），比如：
51 EC 4B 12 3D 42 03 30 04 D8 98 95 93 3F
DES-EDE3的密鑰的實質長度為168比特（21位元組），比如：
51 EC 4B 12 3D 42 03 30 04 D8 98 95 93 3F 24 9F 61 2A 2F D9 96
對稱密碼AES的密鑰長度可以從128、192和256比特中進行選擇，當密鑰長度為256比特時，比如：
51 EC 4B 12 3D 42 03 30 04 D8 98 95 93 3F 24 9F 61 2A 2F D9 96
B9 42 DC FD A0 AE F4 5D 60 51 F1
密鑰和明文是等價的 。假設明文具有100萬的價值，那麼用來加密這段明文的密鑰也就是具有100萬元的價值；如果明文值1億元，密鑰也就值1億元；如果明文的內容是生死攸關的，那麼密鑰也同樣是生死攸關的。
在對稱密碼中，加密和解密使用同一個密鑰。由於發送者和接收者需要共享密鑰，因此對稱密碼又稱為共享密鑰密碼。對稱密碼中所使用的密鑰必須對發送者和接收者以外的人保密，否則第三方就能夠解密了。
在消息認證碼中，發送者和接收者使用共享的密鑰來進行認證。消息認證碼只能由持有合法密鑰的人計算出來。將消息認證碼附加在通信報文後面，就可以識別通信內容是否被篡改或偽裝，由於「持有合法的密鑰」就是發送者和接收者合法身份的證明，因此消息認證碼的密鑰必須對發送者以外的人保密，否則就會產生篡改和偽裝的風險。
在數字簽名中，簽名生成和驗證使用不同的密鑰，只有持有私鑰的本人才能夠生成簽名，但由於驗證簽名使用的是公鑰，因此任何人都能夠驗證簽名。
對稱密碼和公鑰密碼的密鑰都是用於確保機密性的密鑰。如果不知道用於解密的合法密鑰，就無法得知明文的內容。
相對地，消息認證碼和數字簽名所使用的密鑰，則是用於認證的密鑰。如果不知道合法的密鑰，就無法篡改數據，也無法偽裝本人的身份。
當我們訪問以https://開頭的網頁時，Web伺服器和瀏覽器之間會進行基於SSL/TLS的加密通信。在這樣的通信中所使用的密鑰是僅限於本次通信的一次密鑰，下次通信時就不能使用了，想這樣每次通信只能使用一次的密鑰稱為 會話密鑰 。
由於會話密鑰只在本次通信中有效，萬一竊聽者獲取了本次通信的會話密鑰，也只能破譯本次通信的內容。
雖然每次通信都會更換會話密鑰，但如果用來生成密鑰的偽隨機數生成器品質不好，竊聽者就有可能預測出下次生成會話密鑰，這樣就會產生通信內容被破譯的風險。
相對於每次通信更換的會話密鑰，一直被重復使用的密鑰稱為 主密鑰 。
一般來說，加密的對象是用戶直接使用的信息，這樣的情況下所使用的密鑰稱為CEK(Contents Encryting Key，內容加密密鑰)；相對地，用於加密密鑰的密鑰則稱為KEK（Key Encryting Key，密鑰加密密鑰）。
在很多情況下，之前提到的會話密鑰都是被作為CEK使用的，而主密鑰則是被作為KEK使用的。
生成密鑰的最好方法就是使用隨機數，因為米喲啊需要具備不易被他人推測的性質。在可能的情況下最好使用能夠生成密碼學上的隨機數的硬體設備，但一般我們都是使用偽隨機數生成器這一專門為密碼學用途設計的軟體。
在生成密鑰時，不能自己隨便寫出一些像「3F 23 52 28 E3....」這樣的數字。因為盡管你想生成的是隨機的數字，但無論如何都無法避免人為偏差，而這就會成為攻擊者的目標。
盡管生成偽隨機數的演算法有很多種，但密碼學用途偽隨機生成器必須是專門針對密碼學用途而設計的。例如，有一些偽隨機數生成器可以用於游戲和模擬演算法，盡管這些偽隨機數生成器所生成的數列看起也是隨機的，但只要不是專門為密碼學用途設計的，就不能用來生成密鑰，因為這些偽隨機數生成器不具備不可預測性這一性質。
有時候我們也會使用人類的可以記住的口令（pasword或passphrase）來生成密鑰。口令指的是一種由多個單片語成的較長的password。
嚴格來說，我們很少直接使用口令來作為密鑰使用，一般都是將口令輸入單向散列函數，然後將得到的散列值作為密鑰使用。
在使用口令生成密鑰時，為了防止字典攻擊，需要在口令上附加一串稱為鹽（salt）的隨機數，然後在將其輸入單向散列函數。這種方法稱為「基於口令的密碼（Password Based Encryption，PBE）」。
在使用對稱密碼時，如何在發送者和接收者之間共享密鑰是一個重要的問題，要解決密鑰配送問題，可以採用事先共享密鑰，使用密鑰分配中心，使用公鑰密碼等方法，除了上述方法，之前還提到一種解決密鑰配送的問題的方法稱為Diffie-Hellman密鑰交換。
有一種提供通信機密性的技術稱為 密鑰更新 （key updating），這種方法就是在使用共享密鑰進行通信的過程中，定期更改密鑰。當然，發送者和接收者必須同時用同樣的方法來改變密鑰才行。
在更新密鑰時，發送者和接收者使用單向散列函數計算當前密鑰的散列值，並將這個散列值用作新的密鑰。簡單說，就是 用當前密鑰散列值作為下一個密鑰 。
我們假設在通信過程中的某個時間點上，密鑰被竊聽者獲取了，那麼竊聽者就可以用這個密鑰將之後的通信內容全部解密。但是，竊聽者卻無法解密更新密鑰這個時間點之前的內容，因為這需要用單向散列函數的輸出反算出單向散列函數的輸入。由於單向散列函數具有單向性，因此就保證了這樣的反算是非常困難的。
這種防止破譯過去的通信內容機制，稱為 後向安全 （backward security）。
由於會話密鑰在通信過程中僅限於一次，因此我們不需要保存這種秘密。然而，當密鑰需要重復使用時，就必須要考慮保存密鑰的問題了。
人類是 無法記住具有實用長度的密鑰 的。例如，像下面這樣一個AES的128比特的密鑰，一般人是很難記住的。
51 EC 4B 12 3D 42 03 30 04 DB 98 95 93 3F 24 9F
就算勉強記住了，也只過不是記住一個密鑰而已。但如果要記住多個像這樣的密鑰並且保證不忘記，實際上是非常困難的。
我們記不住密鑰，但如果將密鑰保存下來又可能會被竊取。這真是一個頭疼的問題。這個問題很難得到徹底解決，但我們可以考慮一些合理的解決方法。
將密鑰保存生文件，並將這個文件保存在保險櫃等安全地方。但是放在保險櫃里的話，出門就無法使用了。這種情況，出門時就需要隨身攜帶密鑰。而如果將密鑰放在存儲卡隨身攜帶的話，就會產生存儲卡丟失、被盜等風險。
萬一密鑰被盜，為了能夠讓攻擊者花更多的時間才能真正使用這個密鑰，我們可以使用將密鑰加密後保存的方法，當然，要將密鑰加密，必須需要另一個密鑰。像這樣用於密碼加密的密鑰，一般稱為KEK。
對密鑰進行加密的方法雖然沒有完全解決機密性的問題，但在現實中卻是一個非常有效地方法，因為這樣做可以減少需要保管密鑰的數量。
假設計算機上有100萬個文件，分別使用不同的密鑰進行加密生成100萬個密文，結果我們手上就產生了100萬個密鑰，而要保管100萬個密鑰是很困難的。
於是，我們用一個密鑰（KEK）將這100萬個密鑰進行加密，那麼現在我們只要保管者一個KEK就可以了，這一個KEK的價值相當於簽名的100萬個密鑰的價值的總和。
用1個密鑰來代替多個密鑰進行保管的方法，和認證機構的層級化非常相似。在後者中，我們不需要信任多個認證機構，而只需要信任一個根CA就可以了。同樣的，我們也不需要確保多個密鑰的機密性，而只需要確保一個KEK的機密性就可以了。
密鑰的作廢和生成是同等重要的，這是因為密鑰和明文是等價的。
假設Alice向Bob發送了一封加密郵件。Bob在解密之後閱讀了郵件的內容，這時本次通信所使用的密鑰對於Alice和Bob來說就不需要了。不在需要的密鑰必須妥善刪除，因為如果被竊聽者Eve獲取，之前發送的加密郵件就會被解密。
如果密鑰是計算機上的一個文件，那麼僅僅刪除這個文件是不足以刪除密鑰的，因為有一些技術能夠讓刪除的文件「恢復」。此外，很多情況下文件的內容還會殘留在計算機的內存中，因此必須將這些痕跡完全抹去。簡而言之，要完全刪除密鑰，不但要用到密碼軟體，還需要在設計計算機系統時對信息安全進行充分的考慮
如果包含密鑰的文件被誤刪或者保管密鑰的筆記本電腦損壞了，會怎麼樣？
如果丟失了對稱密鑰密碼的共享密鑰，就無法解密密文了。如果丟失了消息認證碼的密鑰，就無法向通信對象證明自己的身份了。
公鑰密碼中，一般不太會發送丟失公鑰的情況，因為公鑰是完全公開的，很有可能在其他電腦上存在副本。
最大的問題是丟失公鑰密碼的私鑰。如果丟失了公鑰密碼的私鑰，就無法解密用公鑰密碼加密的密文了。此外，如果丟失了數字簽名的私鑰，就無法生成數字簽名了。
Diffie-Hellman密鑰交換（Diffie-Hellman key exchange）是1976年由Whitfield Diffie和Martin Hellman共同發明的一種演算法。使用這種演算法，通信雙方僅通過交換一些可以公開的信息就能夠生成共享秘密數字，而這一秘密數字就可以被用作對稱密碼的密鑰。IPsec 中就使用了經過改良的Diffie-Hellman密鑰交換。
2 Alice 生成一個隨機數A
A是一個1 ~ P-2之間的整數。這個數是一個只有Alice知道的密碼數字，沒有必要告訴Bob，也不能讓Eve知道。
Alice計算出的密鑰=Bob計算出的密鑰
在步驟1-7中，雙方交換數字一共有4個，P、G、G A mod P 和 G B mod P。根據這4個數字計算出Alice和Bob的共享密鑰是非常困難的。
如果Eve能歐知道A和B的任意一個數，那麼計算G A*B 就很容易了，然而僅僅根據上面的4個數字很難求出A和B的。
根據G A mod P 計算出A的有效演算法到現在還沒有出現，這問題成為有限域(finite field) 的 離散對數問題 。
Diffie-Hellman密鑰交換是利用了「離散對數問題」的復雜度來實現密鑰的安全交換的，如果將「離散對數問題」改為「橢圓曲線上離散對數問題」，這樣的演算法就稱為 橢圓曲線Diffie-Hellman 密鑰交換。
橢圓曲線Diffie-Hellman密鑰交換在總體流程上是不變的，只是所利用的數學問題不同而已。橢圓曲線Diffie-Hellman密鑰交換能夠用較短的密鑰長度實現較高的安全性。
基於口令密碼（password based encryption，PBE）就是一種根據口令生成密鑰並用該密鑰進行加密的方法。其中加密和解密使用同一個密鑰。
PBE有很多種實現方法。例如RFC2898和RFC7292 等規范中所描述的PBE就通過Java的javax.crypto包等進行了實現。此外，在通過密碼軟體PGP保存密鑰時，也會使用PBE。
PBE的意義可以按照下面的邏輯來理解。
想確保重要消息的機制性。
↓
將消息直接保存到磁碟上的話，可能被別人看到。
↓
用密鑰（CEK）對消息進行加密吧。
↓
但是這次又需要確保密鑰（CEK）的機密性了。
↓
將密鑰（CEK）直接保存在磁碟上好像很危險。
↓
用另一個密鑰（KEK）對密鑰進行加密（CEK）吧。
↓
等等！這次又需要確保密鑰（KEK）的機密性了。進入死循環了。
↓
既然如此，那就用口令來生成密鑰（KEK）吧。
↓
但只用口令容易遭到字典攻擊
↓
那麼就用口令和鹽共同生成密鑰（KEK）吧。
↓
鹽可以和加密後的密鑰（CEK）一切保存在磁碟上，而密鑰（KEK）可以直接丟棄。
↓
口令就記在自己的腦子里吧。
PBE加密包括下列3個步驟：
鹽是由偽隨機數生成器生成的隨機數，在生成密鑰（KEK）時會和口令一起被輸入單向散列函數。
密鑰（KEK）是根據秘密的口令生成的，加鹽好像沒有什麼意義，那麼鹽到底起到什麼作用呢？
鹽是用來防禦字典攻擊的 。字典攻擊是一種事先進行計算並准備好候選密鑰列表的方法。
我們假設在生成KEK的時候沒有加鹽。那麼主動攻擊者Mallory就可以根據字典數據事先生成大量的候選KEK。
在這里，事先是很重要的一點。這意味著Mallory可以在竊取到加密會話的密鑰之前，就准備好了大量的候選KEK。當Mallory竊取加密的會話密鑰後，就需要嘗試將它解密，這是准備好了大量事先生成的候選KEK，就能夠大幅度縮短嘗試的時間，這就是 字典攻擊 （dictionary attack）。
如果在生成KEK時加鹽，則鹽的長度越大，候選KEK的數量也會隨之增大，事先生成的的候選KEK就會變得非常困難。只要Mallory還沒有得到鹽，就無法生成候選KEK。這是因為加鹽之後，候選KEK的數量會變得非常巨大。
具有充足長度的密鑰是無法用人腦記憶的。口令也是一樣，我們也無法記住具有充足比特數的口令。
在PBE中，我們通過口令生成密鑰（KEK），在用這個密鑰來加密會話密鑰（CEK）。由於通過口令生成的密鑰（KEK）強度不如由偽隨機數生成器生成的會話密鑰（CEK），這就好像是將一個牢固的保險櫃的鑰匙放在了一個不怎麼牢固的保險櫃保管，因此在使用基於口令的密鑰時，需要將鹽和加密後的CEK通過物理方法進行保護。例如將鹽和加密後的CEK保存到存儲卡隨身攜帶。
在生成KEK時，通過多次使用單向散列函數就可以提高安全性。例如，將鹽和口令輸入單向散列函數，進行1000次的散列函數所得到的散列值作為KEK來使用，是一個不錯的方法。
像這樣將單向散列函數進行多次迭代的方法稱為 拉伸 （stretching）。
該系列的主要內容來自《圖解密碼技術第三版》
我只是知識的搬運工
文章中的插圖來源於原著
⑹ Hello，密碼學：第三部分，公鑰密碼（非對稱密碼）演算法
在 《Hello，密碼學：第二部分，對稱密碼演算法》 中講述了對稱密碼的概念，以及DES和AES兩種經典的對稱密碼演算法原理。既然有對稱密碼的說法，自然也就有非對稱密碼，也叫做公鑰密碼演算法。 對稱密碼和非對稱密碼兩種演算法的本質區別在於，加密密鑰和解密密鑰是否相同 ：
公鑰密碼產生的初衷就是為了解決 密鑰配送 的問題。
Alice 給遠方的 Bob 寫了一封情意慢慢的信，並使用強悍的 AES-256 進行了加密，但她很快就意識到，光加密內容不行，必須要想一個安全的方法將加密密鑰告訴 Bob，如果將密鑰也通過網路發送，很可能被技術高手+偷窺癖的 Eve 竊聽到。
既要發送密鑰，又不能發送密鑰，這就是對稱密碼演算法下的「密鑰配送問題」 。
解決密鑰配送問題可能有這樣幾種方法：
這種方法比較高效，但有局限性：
與方法一不同，密鑰不再由通信個體來保存，而由密鑰分配中心（KDC）負責統一的管理和分配。 雙方需要加密通信時，由 KDC 生成一個用於本次通信的通信密鑰交由雙方，通信雙方只要與 KDC 事先共享密鑰即可 。這樣就大大減少密鑰的存儲和管理問題。
因此，KDC 涉及兩類密鑰：
領略下 KDC 的過程：
KDC 通過中心化的手段，確實能夠有效的解決方法一的密鑰管理和分配問題，安全性也還不錯。但也存在兩個顯著的問題：
使用公鑰密碼，加密密鑰和解密密鑰不同，只要擁有加密密鑰，所有人都能進行加密，但只有擁有解密密鑰的人才能進行解密。於是就出現了這個過程：
密鑰配送的問題天然被解決了。當然，解密密鑰丟失而導致信息泄密，這不屬於密鑰配送的問題。
下面，再詳細看下這個過程。
公鑰密碼流程的核心，可以用如下四句話來概述：
既然加密密鑰是公開的，因此也叫做 「公鑰（Public Key）」 。
既然解密密鑰是私有的，因此也叫做 「私鑰（Private Key） 。
公鑰和私鑰是一一對應的，稱為 「密鑰對」 ，他們好比相互糾纏的量子對， 彼此之間通過嚴密的數學計算關系進行關聯 ，不能分別單獨生成。
在公鑰密碼體系下，再看看 Alice 如何同 Bob 進行通信。
在公鑰密碼體系下，通信過程是由 Bob 開始啟動的：
過程看起來非常簡單，但為什麼即使公鑰被竊取也沒有關系？這就涉及了上文提到的嚴密的數學計算關系了。如果上一篇文章對稱密鑰的 DES 和 AES 演算法進行概述，下面一節也會對公鑰體系的數學原理進行簡要說明。
自從 Diffie 和 Hellman 在1976年提出公鑰密碼的設計思想後，1978年，Ron Rivest、Adi Shamir 和 Reonard Adleman 共同發表了一種公鑰密碼演算法，就是大名鼎鼎的 RSA，這也是當今公鑰密碼演算法事實上的標准。其實，公鑰密碼演算法還包括ElGamal、Rabin、橢圓曲線等多種演算法，這一節主要講述 RSA 演算法的基本數學原理。
一堆符號，解釋下，E 代表 Encryption，D 代表 Decryption，N 代表 Number。
從公式種能夠看出來，RSA的加解密數學公式非常簡單（即非常美妙）。 RSA 最復雜的並非加解密運算，而是如何生成密鑰對 ，這和對稱密鑰演算法是不太一樣的。 而所謂的嚴密的數學計算關系，就是指 E 和 D 不是隨便選擇的 。
密鑰對的生成，是 RSA 最核心的問題，RSA 的美妙與奧秘也藏在這裡面。
1. 求N
求 N 公式：N = p × q
其中， p 和 q 是兩個質數 ，而且應該是很大又不是極大的質數。如果太小的話，密碼就容易被破解；如果極大的話，計算時間就會很長。比如 512 比特的長度（155 位的十進制數字）就比較合適。
這樣的質數是如何找出來的呢？ 需要通過 「偽隨機數生成器（PRNG）」 進行生成，然後再判斷其是否為質數 。如果不是，就需要重新生成，重新判斷。
2. 求L
求 L 公式：L = lcm(p-1, q-1)
lcm 代表 「最小公倍數（least common multiple）」 。注意，L 在加解密時都不需要， 僅出現在生成密鑰對的過程中 。
3. 求E
E 要滿足兩個條件：
1）1 < E < L
2）gcd(E,L) = 1
gcd 代表 「最大公約數（greatest common divisor）」 。gcd(E,L) = 1 就代表 「E 和 L 的最大公約數為1，也就是說， E 和 L 互質 」。
L 在第二步已經計算出來，而為了找到滿足條件的 E， 第二次用到 「偽隨機數生成器（PRNG）」 ，在 1 和 L 之間生成 E 的候選，判斷其是否滿足 「gcd(E,L) = 1」 的條件。
經過前三步，已經能夠得到密鑰對種的 「公鑰：{E, N}」 了。
4. 求D
D 要滿足兩個條件：
1）1 < D < L
2）E × D mod L = 1
只要 D 滿足上面的兩個條件，使用 {E, N} 進行加密的報文，就能夠使用 {D, N} 進行解密。
至此，N、L、E、D 都已經計算出來，再整理一下
模擬實踐的過程包括兩部分，第一部分是生成密鑰對，第二部分是對數據進行加解密。為了方便計算，都使用了較小的數字。
第一部分：生成密鑰對
1. 求N
准備兩個質數，p = 5，q = 7，N = 5 × 7 = 35
2. 求L
L = lcm(p-1, q-1) = lcm (4, 6) = 12
3. 求E
gcd(E, L) = 1，即 E 和 L 互質，而且 1 < E < L，滿足條件的 E 有多個備選：5、7、11，選擇最小的 5 即可。於是，公鑰 = {E, N} = {5, 35}
4. 求D
E × D mod L = 1，即 5 × D mod 12 = 1，滿足條件的 D 也有多個備選：5、17、41，選擇 17 作為 D（如果選擇 5 恰好公私鑰一致了，這樣不太直觀），於是，私鑰 = {D, N} = {17, 35}
至此，我們得到了公私鑰對：
第二部分：模擬加解密
明文我們也使用一個比較小的數字 -- 4，利用 RSA 的加密公式：
密文 = 明文 ^ E mod N = 4 ^ 5 mod 35 = 9
明文 = 密文 ^ D mod N = 9 ^ 17 mod 35 = 4
從這個模擬的小例子能夠看出，即使我們用了很小的數字，計算的中間結果也是超級大。如果再加上偽隨機數生成器生成一個數字，判斷其是否為質數等，這個過程想想腦仁兒就疼。還好，現代晶元技術，讓計算機有了足夠的運算速度。然而，相對於普通的邏輯運算，這類數學運算仍然是相當緩慢的。這也是一些非對稱密碼卡/套件中，很關鍵的性能規格就是密鑰對的生成速度
公鑰密碼體系中，用公鑰加密，用私鑰解密，公鑰公開，私鑰隱藏。因此：
加密公式為：密文 = 明文 ^ E mod N
破譯的過程就是對該公式進行逆運算。由於除了對明文進行冪次運算外， 還加上了「模運算」 ，因此在數學上， 該逆運算就不再是簡單的對數問題，而是求離散對數問題，目前已經在數學領域達成共識，尚未發現求離散對數的高效演算法 。
暴力破解的本質就是逐個嘗試。當前主流的 RSA 演算法中，使用的 p 和 q 都是 1024 位以上，這樣 N 的長度就是 2048 位以上。而 E 和 D 的長度和 N 差不多，因此要找出 D，就需要進行 2048 位以上的暴力破解。即使上文那個簡單的例子，算出（ 蒙出 ） 「9 ^ D mod 35 = 4」 中的 D 也要好久吧。
因為 E 和 N 是已知的，而 D 和 E 在數學上又緊密相關（通過中間數 L），能否通過一種反向的演算法來求解 D 呢？
從這個地方能夠看出，p 和 q 是極為關鍵的，這兩個數字不泄密，幾乎無法通過公式反向計算出 D。也就是說， 對於 RSA 演算法，質數 p 和 q 絕不能被黑客獲取，否則等價於交出私鑰 。
既然不能靠搶，N = p × q，N是已知的，能不能通過 「質因數分解」 來推導 p 和 q 呢？或者說， 一旦找到一種高效的 「質因數分解」 演算法，就能夠破解 RSA 演算法了 。
幸運的是，這和上述的「離散對數求解」一樣，當下在數學上還沒有找到這種演算法，當然，也無法證明「質因數分解」是否真的是一個困難問題 。因此只能靠硬算，只是當前的算力無法在可現實的時間內完成。 這也是很多人都提到過的，「量子時代來臨，當前的加密體系就會崩潰」，從算力的角度看，或許如此吧 。
既不能搶，也不能算，能不能猜呢？也就是通過 「推測 p 和 q 進行破解」 。
p 和 q 是通過 PRNG（偽隨機數生成器）生成的，於是，又一個關鍵因素，就是採用的 偽隨機數生成器演算法要足夠隨機 。
隨機數對於密碼學極為重要，後面會專門寫一篇筆記 。
前三種攻擊方式，都是基於 「硬碰硬」 的思路，而 「中間人攻擊」 則換了一種迂迴的思路，不去嘗試破解密碼演算法，而是欺騙通信雙方，從而獲取明文。具體來說，就是： 主動攻擊者 Mallory 混入發送者和接收者之間，面對發送者偽裝成接收者，面對接收者偽裝成發送者。
這個過程可以重復多次。需要注意的是，中間人攻擊方式不僅能夠針對 RSA，還可以針對任何公鑰密碼。能夠看到，整個過程中，公鑰密碼並沒有被破譯，密碼體系也在正常運轉，但機密性卻出現了問題，即 Alice 和 Bob 之間失去了機密性，卻在 Alice 和 Mallory 以及 Mallory 和 Bob 之間保持了機密性。即使公鑰密碼強度再強大 N 倍也無濟於事。也就是說，僅僅依靠密碼演算法本身，無法防禦中間人攻擊 。
而能夠抵禦中間人攻擊的，就需要用到密碼工具箱的另一種武器 -- 認證 。在下面一篇筆記中，就將涉及這個話題。
好了，以上就是公鑰密碼的基本知識了。
公鑰密碼體系能夠完美的解決對稱密碼體系中 「密鑰配送」 這個關鍵問題，但是拋開 「中間人攻擊」 問題不談，公鑰密碼自己也有個嚴重的問題：
公鑰密碼處理速度遠遠低於對稱密碼。不僅體現在密鑰對的生成上，也體現在加解密運算處理上。
因此，在實際應用場景下，往往會將對稱密碼和公鑰密碼的優勢相結合，構建一個 「混合密碼體系」 。簡單來說： 首先用相對高效的對稱密碼對消息進行加密，保證消息的機密性；然後用公鑰密碼加密對稱密碼的密鑰，保證密鑰的機密性。
下面是混合密碼體系的加解密流程圖。整個體系分為左右兩個部分：左半部分加密會話密鑰的過程，右半部分是加密原始消息的過程。原始消息一般較長，使用對稱密碼演算法會比較高效；會話密鑰一般比較短（十幾個到幾十個位元組），即使公鑰密碼演算法運算效率較低，對會話密鑰的加解密處理也不會非常耗時。
著名的密碼軟體 PGP、SSL/TLS、視頻監控公共聯網安全建設規范（GB35114） 等應用，都運用了混合密碼系統。
好了，以上就是公鑰密碼演算法的全部內容了，拖更了很久，以後還要更加勤奮一些。
為了避免被傻啦吧唧的審核機器人處理，後面就不再附漂亮姑娘的照片（也是為了你們的健康），改成我的攝影作品，希望不要對收視率產生影響，雖然很多小伙兒就是沖著姑娘來的。
就從喀納斯之旅開始吧。
⑺ 公鑰長度不滿足是什麼意思
干貨：三種公鑰密碼
公鑰密碼概述
世界上幾乎每天都有新的密碼演算法誕生，同時，也有舊的密碼演算法被廢棄。事實上，大部分密碼演算法的誕生並未給密碼學家們帶來震撼，甚至在密碼界連一點細微的漣漪都沒有激起。然而，RSA公鑰密碼演算法自1977年問世以來，成為了密碼學史上劃時代的革命事件，給密碼學家們帶來了驚喜，其最大的貢獻在於它解決了傳統對稱密碼演算法難以解決的兩個問題：一是簽名認證，另一個是密鑰交換（協商）。公鑰密碼演算法的設計比對稱密碼演算法的設計具有更大的挑戰性。目前所使用的公鑰密碼演算法的安全性基礎主要是數學中的難題。
公鑰密碼演算法也常稱為非對稱密碼演算法。其最大特點是其密鑰是成對出現的，其密鑰對由公鑰和私鑰組成。公鑰和私鑰是不相同的，已知私鑰可推導出公鑰，但已知公鑰不能推導出私鑰。公鑰可對外公開，私鑰由用戶自己秘密保存。
公鑰密碼演算法有兩種基本應用模式：一是加密模式，即以用戶公鑰作為加密密鑰，以用戶私鑰作為解密密鑰，實現多個用戶的加密信息只能由一個用戶解讀；二是認證模式，即以用戶私鑰進行數字簽名，以用戶公鑰驗證簽名，實現一個用戶的簽名可以由多個用戶驗證。用於加解密中的密鑰對，稱為加密密鑰對。用於簽名驗證中的密鑰對稱為簽名密鑰對。
目前的公鑰密碼主要有RSA、ECC、IBC三類，針對RSA我國沒有相應的標准演算法出台，而針對ECC和IBC，我國分別有相應的SM2、SM9標准演算法發布。
RSA
1977年，麻省理工學院的三位數學家Rivest、Shamir、Adleman創建了一個比較完善的公鑰密碼演算法，就是著名的RSA演算法。RSA演算法在過去一直是最受歡迎的公鑰密碼演算法，其演算法比較簡單，加密解密都只是一個模冪運算，速度快，效率高。在相當長的一段時間內，RSA在公鑰密碼演算法中占據著主導地位，並得到了廣泛的應用。
也許因為RSA密碼的特殊地位和重要應用，國際上破解RSA的研究工作從來沒有間斷並在不斷推進。目前RSA 1024已失去其安全性，將被淘汰。目前看來，RSA 2048（及以上）是安全的，而RSA演算法復雜度隨著模長的增加，運算量成指數級上升，同時也相應增加了密鑰存儲量。
2011年，國家密碼管理局下發通知，停止審批RSA密碼應用新建項目。
ECC（SM2）
1985年， Miller和 Koblitz分別獨立提出了橢圓曲線密碼（ECC）。和RSA相比，ECC演算法的數學理論比較復雜，單位安全強度相對較高。ECC安全性建立在離散對數求取困難性基礎上，它的破譯或求解難度基本上是完全指數級的，而破解RSA的難度是亞指數級的。ECC公鑰密碼是單位比特強度最大的公鑰密碼，256比特的ECC公鑰密碼的安全強度比2048比特的RSA公鑰密碼強度還要強。要達到同樣的安全強度，ECC所需的密鑰長度遠比RSA低。
2012年，國家密碼管理局發布ECC國密標准演算法SM2。
IBC （SM9）
基於標識的密碼（Identity-Based Cryptography）簡稱IBC，是與RSA、ECC相比具有其獨特性的又一種公鑰密碼。這種獨特性表現在其公鑰是用戶的身份標識，而不是隨機數（亂碼）。
IBC這個概念最初出現於1984年Shamir（RSA密碼創始人之一）的論文中，IBC密碼系統公鑰和私鑰採用一種不同於RSA和ECC的特殊方法產生，即公鑰是用戶的身份標識，而私鑰通過綁定身份標識與系統主密鑰（master key）生成。
Miller在1985年創建橢圓曲線密碼（ECC）後不久，在其一篇未發表的手稿中首次給出了計算雙線性對的多項式時間演算法。但因為當時雙線性對在公鑰密碼中尚未取得有效應用，因此沒有引起研究者的關注。當雙線性對在公鑰密碼學中獲得諸多應用後，其計算的重要性也日趨顯著，時隔19年之後，Miller於2004年重新整理了當年的手稿，詳盡地論述了雙線性對的計算。雙線性對的有效計算奠定了IBC密碼演算法基礎。
2016年，國家密碼管理局於發布IBC國密標准演算法即SM9。
三種公鑰密碼應用比較
RSA與ECC/SM2公鑰密碼是基於數字證書的公鑰密碼，IBC/SM9是無證書的基於標識的公鑰密碼。
基於數字證書的公鑰密碼是目前廣泛使用的公鑰密碼，由可信的權威機構(CA)為每個用戶簽發公鑰證書。
CA擁有用戶的身份和公鑰後，CA需要驗證用戶的有效性和合法性，如果驗證通過，CA為其頒發證書，而這個證書包含CA的私鑰對用戶公鑰和身份等信息的簽名。如果想要驗證用戶的公鑰，需通過CA的公鑰驗證用戶的證書。
IBC作為PKI體系的發展和補充，既保證了簽名的安全特性，又滿足了各種應用更靈活的安全需求。IBC應用於PKI中是無證書的（certificateless），由於標識本身就是實體的公鑰，這類系統就不再依賴證書，在某種程度上簡化了PKI的應用。
在IBC中，可信第三方是密鑰生成中心KGC（key generation center），類似於PKI中的CA，一旦用戶的身份標識確定，KGC僅僅只需要驗證該用戶是否擁有該身份標識。如果驗證成功，則KGC為用戶創建其私鑰，這個私鑰是根據用戶身份標識和KGC的根私鑰生成的。
IBC密碼的應用比傳統公鑰密碼的應用在某種程度上更加簡單，但是，其代價是IBC密碼的設計與計算卻比其他公鑰密碼復雜得多。在IBC演算法中，除了RSA和ECC中所具有的運算外，還增加了復雜的雙線性對(bilinear)計算。因此，IBC密碼演算法運行速度遠不如RSA和ECC
⑻ 什麼是公鑰密碼體制
自從1976年公鑰密碼的思想提出以來,國際上已經提出了許多種公鑰密碼體制。用抽象的觀點來看,公鑰密碼就是一種陷門單向函數。
我們說一個函數f是單向函數,即若對它的定義域中的任意x都易於計算f(x),而對f的值域中的幾乎所有的y,即使當f為已知時要計算f-l(y)在計算上也是不可行的。若當給定某些輔助信息(陷門信息)時則易於計算f-l(y),就稱單向函數f是一個陷門單向函數。公鑰密碼體制就是基於這一原理而設計的,將輔助信息(陷門信息)作為秘密密鑰。這類密碼的安全強度取決於它所依據的問題的計算復雜度。
目前比較流行的公鑰密碼體制主要有兩類:一類是基於大整數因子分解問題的,其中最典型的代表是RSA體制。另一類是基於離散對數問題的,如ElGamal公鑰密碼體制和影響比較大的橢圓曲線公鑰密碼體制。
公鑰密碼
一般要求：
1、加密解密演算法相同，但使用不同的密鑰
2、發送方擁有加密或解密密鑰，而接收方擁有另一個密鑰
安全性要求：
1、兩個密鑰之一必須保密
2、無解密密鑰，解密不可行
3、知道演算法和其中一個密鑰以及若干密文不能確定另一個密鑰