⑴ 如何存儲一顆二叉樹
1、順序存儲結構，用一組地址連續的存儲單元由上而下由左至右的存儲完全二叉樹的節點元素，其他二叉樹則與完全二叉樹上的結點進行對照，存儲在一維數組的相應分量中
2、鏈式存儲結構，如二叉鏈表，三叉鏈表
3、線索二叉樹
⑵ 二叉樹相關知識
二叉樹 (binary tree) 是另一種樹型結構，它的特點是每個結點至多隻有二棵子 樹 (即二叉樹中不存在度大於 2的結點 )，並且，二叉樹的子樹有左右之分，其次序不能任意顛倒 . 二叉樹是一種數據結構 :
Binary_tree=(D,R)
其中： D是具有相同特性的數據元素的集合 ;若 D等於空 ,則 R等於空稱為空的二叉樹 ;若 D等於空則 R是 D上某個二元關系 H的集合，即 R={H}，且
(1) D 中存在唯一的稱為根的元素 r，它的關系 H下無前驅 ;
(2) 若 D-{r}不等於空，則 D-{r}={Dl,Dr}，且 Dl交 Dr等於空 ;
(3) 若 Dl不等於空 ,則在 Dl中存在唯一的元素 xl,〈 r,xl〉屬於 H，且存在 Dl上的關系 Hl屬於 H； 若 Dr不等於空 ,則在 Dr中存在唯一的元素 xr,〈 r,xr〉 >屬於 H, 且存 Dr上的關 系 Hr屬於 H； H={r,xl,＜ r,xr＞ ,Hl, Hr};
(4) (Dl, Hl) 是一棵合本定義的二叉樹，稱為根 r的左子樹 ,(Dr,Hr)是一棵符合定義的二叉樹，稱為根的右子樹。
其中，圖 6.2 是各種形態的二叉樹 .
(1) 為空二叉樹 (2)只有一個根結點的二叉樹 (3)右子樹為空的二叉樹 (4)左子樹為空的二叉樹 (5)完全二叉樹
二叉樹的基本操作：
(1)INITIATE(BT ） 初始化操作。置 BT為空樹。
(2)ROOT(BT)\ROOT(x) 求根函數。求二叉樹 BT的根結點或求結點 x所在二叉樹的根結點。
若 BT是空樹或 x不在任何二叉樹上，則函數值為 「空 」。
(3)PARENT(BT,x) 求雙親函數。求二叉樹 BT中結點 x的雙親結點。若結點 x是二叉樹 BT 的根結點
或二叉樹 BT中無 x結點，則函數值為 「空 」。
(4)LCHILD(BT,x) 和 RCHILD(BT,x) 求孩子結點函數。分別求二叉樹 BT中結點 x的左孩 子和右孩子結點。
若結點 x為葉子結點或不在二叉樹 BT中，則函數值為 「空 」。
(5)LSIBLING(BT,x) 和 RSIBING(BT,x) 求兄弟函數。分別求二叉樹 BT中結點 x的左兄弟和右兄弟結點。
若結點 x是根結點或不在 BT中或是其雙親的左 /右子樹根 ,則函樹值 為 「空 」。
(6)CRT_BT(x,LBT,RBT) 建樹操作。生成一棵以結點 x為根，二叉樹 LBT和 RBT分別為左， 右子樹的二叉樹。
(7)INS_LCHILD(BT,y,x) 和 INS_RCHILD(BT,x) 插入子樹操作。將以結點 x為根且右子樹為空的二叉樹
分別置為二叉樹 BT中結點 y的左子樹和右子樹。若結點 y有左子樹 /右子樹，則插入後是結點 x的右子樹。
(8)DEL_LCHILD(BT,x) 和 DEL-RCHILD(BT,x) 刪除子樹操作。分別刪除二叉樹 BT中以結點 x為根的左子樹或右子樹。
若 x無左子樹或右子樹，則空操作。
(9)TRAVERSE(BT) 遍歷操作。按某個次序依此訪問二叉樹中各個結點，並使每個結點只被訪問一次。
(10)CLEAR(BT) 清除結構操作。將二叉樹 BT置為空樹。
5.2.2 二叉樹的存儲結構
一 、順序存儲結構
連續的存儲單元存儲二叉樹的數據元素。例如圖 6.4(b)的完全二叉樹 , 可以向量 (一維數組 ) bt(1:6)作它的存儲結構，將二叉樹中編號為 i的結點的數據元素存放在分量 bt[i]中 ,如圖 6.6(a) 所示。但這種順序存儲結構僅適合於完全二叉樹 ,而一般二叉樹也按這種形式來存儲 ,這將造成存 貯浪費。如和圖 6.4(c)的二叉樹相應的存儲結構圖 6.6(b)所示，圖中以 「0」表示不存在此結點 .
二、 鏈式存儲結構
由二叉樹的定義得知二叉樹的結點由一個數據元素和分別指向左右子樹的兩個分支構成 ,則表 示二叉樹的鏈表中的結點至少包含三個域 :數據域和左右指針域 ,如圖 (b)所示。有時 ,為了便於找 到結點的雙親 ,則還可在結點結構中增加一個指向其雙親受的指針域，如圖 6.7(c)所示。
5.3 遍歷二叉樹
遍歷二叉樹 (traversing binary tree)的問題， 即如何按某條搜索路徑巡訪樹中每個結點，使得每個結點均被訪問一次，而且僅被訪問一次。 其中常見的有三種情況：分別稱之為先 (根 )序遍歷，中 (根 )序遍歷和後 (根 )序遍歷。
5.3.1 前序遍歷
前序遍歷運算：即先訪問根結點，再前序遍歷左子樹，最後再前序遍歷右子樹。前序遍歷運算訪問二叉樹各結點是以根、左、右的順序進行訪問的。例如：
按前序遍歷此二叉樹的結果為： Hello!How are you?
proc preorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[
print(bt^);
preorder(bt^.lchild);
preorder(bt^.rchild);]
end;
5.3.2 中序遍歷
中序遍歷運算：即先中前序遍歷左子樹，然後再訪問根結點，最後再中序遍歷右子樹。中序遍歷運算訪問二叉樹各結點是以左、根、右的順序進行訪問的。例如：
按中序遍歷此二叉樹的結果為： a*b-c
proc inorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[
inorder(bt^.lchild);
print(bt^);
niorder(bt^.rchild);]
end;
5.3.3 後序遍歷
後序遍歷運算：即先後序遍歷左子樹，然後再後序遍歷右子樹，最後訪問根結點。後序遍歷運算訪問二叉樹各結點是以左、右、根的順序進行訪問的。例如：
按後序遍歷此二叉樹的結果為： Welecome to use it!
proc postorder(bt:bitreprtr)
if (bt<>null)[
postorder(bt^.lchild);
postorder(bt^.rchild);]
print(bt^);
end;
五、例：
1.用順序存儲方式建立一棵有31個結點的滿二叉樹，並對其進行先序遍歷。
2.用鏈表存儲方式建立一棵如圖三、4所示的二叉樹，並對其進行先序遍歷。
3.給出一組數據：R={10.18,3,8,12,2,7,3}，試編程序，先構造一棵二叉樹，然後以中序遍歷訪問所得到的二叉樹，並輸出遍歷結果。
4.給出八枚金幣a,b,c,d,e,f,g,h，編程以稱最少的次數，判定它們蹭是否有假幣，如果有，請找出這枚假幣，並判定這枚假幣是重了還是輕了。
⑶ 數據結構中二叉樹的順序存儲結構代碼怎麼編寫
（以下有一段代碼，自己先看看學學吧）
數據結構C語言版 二叉樹的順序存儲表示和實現
P126
編譯環境：Dev-C++ 4.9.9.2
日期：2011年2月13日
*/
#include <stdio.h>
typedef char TElemType;
// 二叉樹的順序存儲表示
#define MAX_TREE_SIZE 100 // 二叉樹的最大結點數
typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; // 0號單元存儲根結點
typedef struct
{
int level, //結點的層
order; //本層序號(按滿二叉樹計算)
}position;
typedef int QElemType;
// 隊列的順序存儲結構(可用於循環隊列和非循環隊列)
#define MAXQSIZE 5 // 最大隊列長度(對於循環隊列，最大隊列長度要減1)
typedef struct
{
QElemType *base; // 初始化的動態分配存儲空間 相當於一個數組
int front; // 頭指針,若隊列不空,指向隊列頭元素，相當於一個數組下標
int rear; // 尾指針,若隊列不空,指向隊列尾元素的下一個位置
// 相當於一個數組下標
}SqQueue;
#define ClearBiTree InitBiTree // 在順序存儲結構中，兩函數完全一樣
TElemType Nil = ' '; // 設空為字元型的空格符
// 構造空二叉樹T。因為T是固定數組，不會改變，故不需要&
int InitBiTree(SqBiTree T)
{
int i;
for(i=0;i<MAX_TREE_SIZE;i++)
T[i]=Nil; // 初值為空
return 1;
}
void DestroyBiTree()
{
// 由於SqBiTree是定長類型,無法銷毀
}
// 按層序次序輸入二叉樹中結點的值(字元型或整型), 構造順序存儲的二叉樹T
int CreateBiTree(SqBiTree T)
{
int i = 0, l;
char s[MAX_TREE_SIZE];
printf("請按層序輸入結點的值(字元)，空格表示空結點，結點數≤%d:\n",
MAX_TREE_SIZE);
printf("例如：abcefgh\n");
gets(s); // 輸入字元串
l = strlen(s); // 求字元串的長度
for(;i<l;i++) // 將字元串賦值給T
{
T[i]=s[i];
// 此結點(不空)無雙親且不是根,T[(i+1)/2-1] == Nil表示T[i]無雙親
if(i!=0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil)
{
printf("出現無雙親的非根結點%c\n",T[i]);
exit(0);
}
}
for(i=l;i<MAX_TREE_SIZE;i++) // 將空賦值給T的後面的結點
T[i]=Nil;
return 1;
}
// 若T為空二叉樹,則返回1,否則0
int BiTreeEmpty(SqBiTree T)
{
if(T[0]==Nil) // 根結點為空,則樹空
return 1;
else
return 0;
}
// 返回T的深度
int BiTreeDepth(SqBiTree T)
{
int i,j=-1;
for(i=MAX_TREE_SIZE-1;i>=0;i--) // 找到最後一個結點
if(T[i] != Nil)
break;
i++; // 為了便於計算
do
j++;
while(i>=pow(2,j)); //i > pow(2, depth-1) && i <= pow(2, depth)
return j; //j = depth;
}
// 當T不空,用e返回T的根,返回1;否則返回0,e無定義
int Root(SqBiTree T,TElemType *e)
{
if(BiTreeEmpty(T)) // T空
return 0;
else
{
*e=T[0];
return 1;
}
}
// 返回處於位置e(層,本層序號)的結點的值
TElemType Value(SqBiTree T,position e)
{
// 將層、本層序號轉為矩陣的序號
return T[((int)pow(2,e.level-1) - 1) + (e.order - 1)];
// ((int)pow(2,e.level-1) - 1)為該e.level的結點個數，
// (e.order - 1)為本層的位置
}
// 給處於位置e(層,本層序號)的結點賦新值value
int Assign(SqBiTree T,position e,TElemType value)
{
// 將層、本層序號轉為矩陣的序號
int i = (int)pow(2,e.level-1) + e.order - 2;
if(value != Nil && T[(i+1)/2-1] == Nil) // 葉子非空值但雙親為空
return 0;
else if(value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil))
// 雙親空值但有葉子（不空）
return 0;
T[i]=value;
return 1;
}
// 若e是T的非根結點,則返回它的雙親,否則返回＂空＂
TElemType Parent(SqBiTree T,TElemType e)
{
int i;
if(T[0]==Nil) // 空樹
return Nil;
for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
if(T[i]==e) // 找到e
return T[(i+1)/2-1];
return Nil; // 沒找到e
}
// 返回e的左孩子。若e無左孩子,則返回＂空＂
TElemType LeftChild(SqBiTree T,TElemType e)
{
int i;
if(T[0]==Nil) // 空樹
return Nil;
for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
if(T[i]==e) // 找到e
return T[i*2+1];
return Nil; // 沒找到e
}
// 返回e的右孩子。若e無右孩子,則返回＂空＂
TElemType RightChild(SqBiTree T,TElemType e)
{
int i;
if(T[0]==Nil) // 空樹
return Nil;
for(i=0;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
if(T[i]==e) // 找到e
return T[i*2+2];
return Nil; // 沒找到e
}
// 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或無左兄弟,則返回＂空＂
TElemType LeftSibling(SqBiTree T,TElemType e)
{
int i;
if(T[0]==Nil) // 空樹
return Nil;
for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
if(T[i] == e && i%2 == 0) // 找到e且其序號為偶數(是右孩子)
return T[i-1];
return Nil; // 沒找到e
}
// 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或無右兄弟,則返回＂空＂
TElemType RightSibling(SqBiTree T,TElemType e)
{
int i;
if(T[0]==Nil) // 空樹
return Nil;
for(i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
if(T[i]==e&&i%2) // 找到e且其序號為奇數(是左孩子)
return T[i+1];
return Nil; // 沒找到e
}
// 把從q的j結點開始的子樹移為從T的i結點開始的子樹
// InsertChild()用到
void Move(SqBiTree q,int j,SqBiTree T,int i)
{
if(q[2*j+1] != Nil) // q的左子樹不空
Move(q,(2*j+1),T,(2*i+1)); // 把q的j結點的左子樹移為T的i結點的左子樹
if(q[2*j+2] != Nil) // q的右子樹不空
Move(q,(2*j+2),T,(2*i+2)); // 把q的j結點的右子樹移為T的i結點的右子樹
T[i]=q[j]; // 把q的j結點移為T的i結點
q[j]=Nil; // 把q的j結點置空
}
// 根據LR為0或1,插入c為T中p結點的左或右子樹。p結點的原有左或
// 右子樹則成為c的右子樹
int InsertChild(SqBiTree T,TElemType p,int LR,SqBiTree c)
{
int j,k,i=0;
for(j=0;j<(int)pow(2,BiTreeDepth(T))-1;j++) // 查找p的序號
if(T[j]==p) // j為p的序號
break;
k=2*j+1+LR; // k為p的左或右孩子的序號
if(T[k] != Nil) // p原來的左或右孩子不空
Move(T,k,T,2*k+2); // 把從T的k結點開始的子樹移為從k結點的右子樹開始的子樹
Move(c,i,T,k); // 把從c的i結點開始的子樹移為從T的k結點開始的子樹
return 1;
}
// 構造一個空隊列Q
int InitQueue(SqQueue *Q)
{
(*Q).base=(QElemType *)malloc(MAXQSIZE*sizeof(QElemType)); //分配定長的空間，相當於一個數組
if(!(*Q).base) // 存儲分配失敗
exit(0);
(*Q).front=(*Q).rear=0; //初始化下標
return 1;
}
// 插入元素e為Q的新的隊尾元素
int EnQueue(SqQueue *Q,QElemType e)
{
if((*Q).rear>=MAXQSIZE)
{ // 隊列滿，增加1個存儲單元
(*Q).base=(QElemType *)realloc((*Q).base,((*Q).rear+1)*sizeof(QElemType));
if(!(*Q).base) // 增加單元失敗
return 0;
}
*((*Q).base+(*Q).rear)=e;
(*Q).rear++;
return 1;
}
// 若隊列不空,則刪除Q的隊頭元素,用e返回其值,並返回1,否則返回0
int DeQueue(SqQueue *Q,QElemType *e)
{
if((*Q).front==(*Q).rear) // 隊列空
return 0;
*e=(*Q).base[(*Q).front];
(*Q).front=(*Q).front+1;
return 1;
}
// 根據LR為1或0,刪除T中p所指結點的左或右子樹
int DeleteChild(SqBiTree T,position p,int LR)
{
int i;
int k=1; // 隊列不空的標志
SqQueue q;
InitQueue(&q); // 初始化隊列，用於存放待刪除的結點
i=(int)pow(2,p.level-1)+p.order-2; // 將層、本層序號轉為矩陣的序號
if(T[i]==Nil) // 此結點空
return 0;
i=i*2+1+LR; // 待刪除子樹的根結點在矩陣中的序號
while(k)
{
if(T[2*i+1]!=Nil) // 左結點不空
EnQueue(&q,2*i+1); // 入隊左結點的序號
if(T[2*i+2]!=Nil) // 右結點不空
EnQueue(&q,2*i+2); // 入隊右結點的序號
T[i]=Nil; // 刪除此結點
k=DeQueue(&q,&i); // 隊列不空
}
return 1;
}
int(*VisitFunc)(TElemType); // 函數變數
void PreTraverse(SqBiTree T,int e)
{
// PreOrderTraverse()調用
VisitFunc(T[e]); //先調用函數VisitFunc處理根
if(T[2*e+1]!=Nil) // 左子樹不空
PreTraverse(T,2*e+1); //然後處理左子樹
if(T[2*e+2]!=Nil) // 右子樹不空
PreTraverse(T,2*e+2);
}
// 先序遍歷T,對每個結點調用函數Visit一次且僅一次。
int PreOrderTraverse(SqBiTree T,int(*Visit)(TElemType))
{
VisitFunc=Visit;
if(!BiTreeEmpty(T)) // 樹不空
PreTraverse(T,0);
printf("\n");
return 1;
}
// InOrderTraverse()調用
void InTraverse(SqBiTree T,int e)
{
if(T[2*e+1]!=Nil) // 左子樹不空
InTraverse(T,2*e+1);
VisitFunc(T[e]);
if(T[2*e+2]!=Nil) // 右子樹不空
InTraverse(T,2*e+2);
}
// 中序遍歷T,對每個結點調用函數Visit一次且僅一次。
int InOrderTraverse(SqBiTree T,int(*Visit)(TElemType))
{
VisitFunc=Visit;
if(!BiTreeEmpty(T)) // 樹不空
InTraverse(T,0);
printf("\n");
return 1;
}
// PostOrderTraverse()調用
void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{
if(T[2*e+1]!=Nil) // 左子樹不空
PostTraverse(T,2*e+1);
if(T[2*e+2]!=Nil) // 右子樹不空
PostTraverse(T,2*e+2);
VisitFunc(T[e]);
}
// 後序遍歷T,對每個結點調用函數Visit一次且僅一次。
int PostOrderTraverse(SqBiTree T,int(*Visit)(TElemType))
{
VisitFunc = Visit;
if(!BiTreeEmpty(T)) // 樹不空
PostTraverse(T,0);
printf("\n");
return 1;
}
// 層序遍歷二叉樹
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T,int(*Visit)(TElemType))
{
int i=MAX_TREE_SIZE-1,j;
while(T[i] == Nil)
i--; // 找到最後一個非空結點的序號
for(j=0;j<=i;j++) // 從根結點起,按層序遍歷二叉樹
if(T[j] != Nil)
Visit(T[j]); // 只遍歷非空的結點
printf("\n");
}
// 逐層、按本層序號輸出二叉樹
void Print(SqBiTree T)
{
int j,k;
position p;
TElemType e;
for(j=1;j<=BiTreeDepth(T);j++)
{
printf("第%d層: ",j);
for(k=1; k <= pow(2,j-1);k++)
{
p.level=j;
p.order=k;
e=Value(T,p);
if(e!=Nil)
printf("%d:%c ",k,e);
}
printf("\n");
}
}
int visit(TElemType e)
{
printf("%c ",e);
return 0;
}
int main()
{
int i,j;
position p;
TElemType e;
SqBiTree T,s;
InitBiTree(T);
CreateBiTree(T);
printf("建立二叉樹後,樹空否？%d(1:是 0:否) 樹的深度=%d\n",
BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
i=Root(T,&e);
if(i)
printf("二叉樹的根為：%c\n",e);
else
printf("樹空，無根\n");
printf("層序遍歷二叉樹:\n");
LevelOrderTraverse(T,visit);
printf("中序遍歷二叉樹:\n");
InOrderTraverse(T,visit);
printf("後序遍歷二叉樹:\n");
PostOrderTraverse(T,visit);
printf("請輸入待修改結點的層號 本層序號: ");
scanf("%d%d%*c",&p.level,&p.order);
e=Value(T,p);
printf("待修改結點的原值為%c請輸入新值: ",e);
scanf("%c%*c",&e);
Assign(T,p,e);
printf("先序遍歷二叉樹:\n");
PreOrderTraverse(T,visit);
printf("結點%c的雙親為%c,左右孩子分別為",e,Parent(T,e));
printf("%c,%c,左右兄弟分別為",LeftChild(T,e),RightChild(T,e));
printf("%c,%c\n",LeftSibling(T,e),RightSibling(T,e));
InitBiTree(s);
printf("建立右子樹為空的樹s:\n");
CreateBiTree(s);
printf("樹s插到樹T中,請輸入樹T中樹s的雙親結點 s為左(0)或右(1)子樹: ");
scanf("%c%d%*c",&e,&j);
InsertChild(T,e,j,s);
Print(T);
printf("刪除子樹,請輸入待刪除子樹根結點的層號 本層序號 左(0)或右(1)子樹: ");
scanf("%d%d%d%*c",&p.level,&p.order,&j);
DeleteChild(T,p,j);
Print(T);
ClearBiTree(T);
printf("清除二叉樹後,樹空否？%d(1:是 0:否) 樹的深度=%d\n",
BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
i=Root(T,&e);
if(i)
printf("二叉樹的根為：%c\n",e);
else
printf("樹空，無根\n");
system("pause");
return 0;
}
/*
輸出效果：
請按層序輸入結點的值(字元)，空格表示空結點，結點數≤100:
例如：abcefgh
abcdefgh
建立二叉樹後,樹空否？0(1:是 0:否) 樹的深度=4
二叉樹的根為：a
層序遍歷二叉樹:
a b c d e f g h
中序遍歷二叉樹:
h d b e a f c g
後序遍歷二叉樹:
h d e b f g c a
請輸入待修改結點的層號 本層序號: 3 2
待修改結點的原值為e請輸入新值: i
先序遍歷二叉樹:
a b d h i c f g
結點i的雙親為b,左右孩子分別為 , ,左右兄弟分別為d,
建立右子樹為空的樹s:
請按層序輸入結點的值(字元)，空格表示空結點，結點數≤100:
例如：abcefgh
jk l
樹s插到樹T中,請輸入樹T中樹s的雙親結點 s為左(0)或右(1)子樹: i 0
第1層: 1:a
第2層: 1:b 2:c
第3層: 1:d 2:i 3:f 4:g
第4層: 1:h 3:j
第5層: 5:k
第6層: 9:l
刪除子樹,請輸入待刪除子樹根結點的層號 本層序號 左(0)或右(1)子樹: 2 1 0
第1層: 1:a
第2層: 1:b 2:c
第3層: 2:i 3:f 4:g
第4層: 3:j
第5層: 5:k
第6層: 9:l
清除二叉樹後,樹空否？1(1:是 0:否) 樹的深度=0
樹空，無根
請按任意鍵繼續. . .
*/
⑷ 二叉樹的順序存儲結構怎麼放
此結構是將二叉樹的所有結點，
按照一定的次序，存儲到一片連續的存儲單元中。
因此，必須將結點排成一個適當的線性序列，
使得結點在這個序列中的相應位置能反映出結點之間的邏輯關系。
這種結構特別適用於近似滿二叉樹。
在一棵具有n個結點的近似滿二叉樹中，
我們從樹根起，自上層到下層，逐層從左到右給所有結點編號，就能得到一個足以反映整個二叉樹結構的線性序列