① 什么是单精度和双精度浮点数
单精度与双精度的区别：
1、单精度，也就是 float ，在 32 位机器上用 4 个字节来存储的；而双精度double是用 8 个字节来存储的。
2，单精度和双精度在计算机中的表示格式虽一样，但由于位数存储位不同，他们能表示的数值的范围就不同，也就是能准确表示的数的位数就不同。
拓展资料：
单精度
单精度数是指计算机表达实数近似值的一种方式。VB中Single（单精度浮点型）变量存储为 IEEE 32 位（4 个字节）浮点数值的形式，它的范围在负数的时候是从 -3.402823E38 到 -1.401298E-45，而在正数的时候是从 1.401298E-45 到 3.402823E38 。
双精度浮点数
双精度浮点数(double)是计算机使用的一种数据类型，使用 64 位（8字节） 来存储一个浮点数。 它可以表示十进制的15或16位有效数字，其可以表示的数字的绝对值范围大约是：2.23x10-308~ 1.79x10308。IEEE754为其定制标准。
② IEEE754标准: 二, 32位浮点数的取值范围
这是"IEEE754标准系列"的第二篇文章. 主要讨论32位浮点数 (或者说float类型) 的取值范围到底是如何计算出来的.
本章主要参考自 IEEE754 wiki
这里先直接给出维基上的取值范围:
可见float类型, 或者说32位浮点数的取值范围是 :
或者说是:
直观表示的话就是:
[-, -0.] ∪ [0., ]
在详细介绍这个范围是怎么计算出来的之前, 我们必须先了解一些概念.只有了解了这些概念, 才能真正的理解浮点数的取值范围是如何计算出来的.
而且此处假定你已经对IEEE754浮点数在内存中的存储方式有所了解, 还不了解的话也可以参考本系列的第一篇文章.
那这就开始吧
根据IEEE754的规定, 按照尾数位隐藏的整数部分是 1. 还是 0. 可以将浮点数划分为两类: normal number(规格数) 和 subnormal number(非规格数)
下面以32位浮点数为例来解释这些概念.
normal number(规格数)
就是尾数位隐藏的整数部分是 1. 的数, 这种数叫做normal number, 可以理解为"正常的数"
一般来说, 我们遇到的都是normal number
举例: 20.5在内存中表示为: 0 1000 0011 0100 1000 0000 0000 000
其中尾数部分(即上面的加粗部分), 去掉后面补的零之后为: 01001
但事实上, 真实的尾数部分应该是: 1. 01001, 即前面省略了整数部分 1.
subnormal number(非规格数)
尾数位隐藏的整数部分为 0. 的数, 叫做subnormal number, 也叫作denormal number, 可以理解为"低于正常数的数"
引入subnormal number这个概念, 是为了在浮点数下溢时, 可以逐位的损失精度, 以尽可能精确的表达0附近的极小数, 之后的章节会具体讲解.
为了表示subnormal number, IEEE754规定: 如果将指数位全部填充为0, 则表示这个数是个subnormal number
举例: 以32位浮点数为例, 当你看到类似于 * 00000000 *********************** 这样内存状态的数时, (即指数位全部为0的数), 就应该知道, 这是个subnormal number, 此时这个数的尾数位隐藏的整数不是 1. 而是 0.
和subnormal number类似, IEEE754对于指数位全为1的状态也做了特殊规定:
当指数位全部被1填充, 即指数位表示的值为255时, 用于表示这个浮点数处在一种非正常数(non-number)的状态: 即这个数可能是±infinity或NaN.
注: Infinity和NaN是两个特殊数, 分别表示 无穷 和 Not a Number. 我们后文还会详细讨论这两个特殊数
所以: 当你看到类似于 * 11111111 *********************** 这样内存状态的数时, (即指数位全部为1的数), 就应该知道, 这是个non-number, 它用于表示特殊数.
在了解了上面两个概念之后, 再看计算方法就很简单了.
如上所述, IEEE754规定, 当指数位全部为0或者全部为1时, 用于表示两种特殊状态的数: subnormal number 和 non-number, 所以现在可以得到如下示意图, 以32位单精度浮点数为例:
这就是理解单精度浮点数取值范围的关键: 当我们讨论浮点数的取值范围时, 实际上讨论的是: normal number (上图中绿色部分)的范围.
可以看出, 32位浮点数的 指数部分 其实是无法取到-127和128的, 因为:
用于表示 -127 的 0000 0000 被用来表示 subnormal number 了,
而用于表示 128 的 1111 1111 被用来表示 non-number 了.
所以实际上32位浮点数的指数部分只能取到只能取到[-126, 127]
再来看看尾数: 对于normal number, 尾数前隐藏的整数部分始终保持为 1.
所以尾数(含隐藏的整数部分)所表示的值的范围其实是 [1.00...00, 1.11...11],
这个二进制数, 约等于十进制的[1, 2), 因为1.11..11非常逼近十进制的2
好啦, 现在我们知道, 对于32位flaot而言: 尾数(含隐藏的整数部分)的可取值为: [1 ,2), 指数位可取值[-126, 127], 且浮点数可正可负, 根据运算规则, 就不难算出32位float的取值范围了:
取值范围
注意开闭区间哦
然后为了看着顺眼, 我们把上式的以2为底, 替换为以10为底:
↑ 转换后小数位太长了, 所以这里写成了省略号的形式: 3.402823669 ...
从上面这个集合中, 取一个更容易表示的子集, 就是我们常见的32位float的取值范围了:
↑ 注意, 上面这个集合其实是32位float取值范围的子集, 不过和真正的取值范围也没有差太多, 表示起来也更简洁, 没有冗长的小数位, 还能写成闭区间的形式...所以在各种资料中, 我们常看到的取值范围就是上面这个.
↑ 之所以能写成 闭 区间的形式, 就是因为它只是真正取值范围的一个 子集. 这里特意说明一下, 防止有的同学对这里的闭区间感到困惑.
下面是 32位单精度浮点数的取值范围示意图, 可以参照此图更好的理解一下前文内容
下图中, x轴代表以2为底的n次幂(即内存中的指数部分), y轴代表尾数(含隐藏的整数部分1.)
坐标系中任意一点(x, y)就代表一个浮点数,
这一点到x轴, y轴所围成的矩形的面积(即上图中橙色区域的面积), 就是这个浮点数的值 (即浮点数的值 = 尾数(含隐藏的整数部分) * 以2为底的n次幂)
上图中:
蓝色部分: 表示normal number的取值范围, 即, normal number类型的浮点数对应的坐标点只能出现在坐标系中的蓝色区域.
坐标点: 一个坐标点对应一个浮点数
橙色部分的面积: 表示该浮点数的值.
这就是32位浮点数取值范围的计算方法.
下一章将详细介绍为什么说32位浮点数的精度是"7位有效数", 这个7是怎么计算出来的, 下一章也将会是整个系列中最有难度, 最重要的一章.
那下一章再见吧~
③ 浮点数的取值范围用二进制表示的
目前多数系统都按照ieee-754标准来规定浮点数的存储格式。ieee754规定，单精度浮点数用4字节存储，双精度浮点数用8字节存储，分为三个部分：符号位、阶码和尾数。阶码即指数，尾数即有效小数位数。单精度格式阶码占8位，尾数占24位，符号位1位，双精度则为11位阶码，53位尾数和1位符号位，
显然差别就出来了。即使都是4字节存储的单精度浮点数，还有不使用ieee754标准的，我记得字长32位的大型ibm系列机就是1位符号位，24位尾数，7位阶码，基数16，而不是2，与此标准不同。所以浮点数的表示范围依赖的因素较多较复杂，主要取决于表示一个浮点数所用的字节数和阶码的大小与长度。说法不一样，但应该都是有根据的。
④ 若浮点数点的IEEE-754 标准存储格式为41D4C000H，求该浮点数的十进制值，要求给出具体过程
[例1]若浮点数x的754标准存储格式为（41360000）16,求其浮点数的十进制数值.
将16进制展开后,可得二进制数格式为
0 100,0001,0 011,0110,0000,0000,0000,0000
S E M
指数e=100,0001,0－01111111=00000011=（3）10
包含隐藏位1的尾数1.M=1.011,0110,0000,0000,0000,0000
于是有 x=（-1）^0*（1.M）*2^（E-127）
=+（1.011011）2*2^3
=（11.375）10
⑤ 若浮点数x的 十进制真值如下:请求出IEEE754标准存储格式 1) -3.125
IEEE754 学习总结一：前言二：预备知识三：将浮点格式转换成十进制数四：将十进制数转换成浮点格式（real*4）附：IEEE754 Converte 1.0介绍一：前言前不久在分析一个程序的过程中遇到了浮点运算,也就顺便学习了一下浮点数的存放格式（IEEE754标准）,此文仅作为总结,其中举了几个典型的例子,如果你想深入了解IEEE754标准,我想本文并不太适合您.二：预备知识-----------------------------------------------------------------------值 存储为 指数偏移量real*4 1位符号位(s)、8位指数(e),23位尾数(m,共32位) 127(7FH)real*8 1位符号位(s)、11位指数(e),52位尾数(m,共64位) 1023(3FFH)real*10 1位符号位(s)、15位指数(e),64位尾数(m,共80位) 16383(3FFFH)-----------------------------------------------------------------------计算公式：V=(-1)^s*2^E*M当e（各位）为全'0'时,E=1-(2^(e（位数）-1)-1),；M=m.如：real*4是8位,E=1-(2^(8-1)-1)=1-127=-126即,在real*4时：V=(-1)^s*2^(-126)*m在real*8时：V=(-1)^s*2^(-1022)*m当e（各位）不为全'0'且不为全'1'时,E=e（值）-(2^(e（位数）-1)-1)；M=1+m.即,在real*4时：V=(-1)^s*2^(e（值）-127)*(1+m)在real*8时：V=(-1)^s*2^(e（值）-1023)*(1+m)三：将浮点格式转换成十进制数[例3.1]：0x00280000（real*4）转换成二进制符号位 指数部分（8位） 尾数部分0 00000000 01010000000000000000000符号位=0；因指数部分=0,则：尾数部分M为m：0.01010000000000000000000=0.3125该浮点数的十进制为：(-1)^0*2^(-126)*0.3125=3.-39[例3.2]：0xC04E000000000000（real*8）转换成二进制符号位 指数部分（11位） 尾数部分1 10000000100 符号位=1；指数=1028,因指数部分不为全'0'且不为全'1',则：尾数部分M为1+m：1.=1.875该浮点数的十进制为：(-1)^1*2^(1028-1023)*1.875=-60四：将十进制数转换成浮点格式（real*4）[例4.1]：26.0十进制26.0转换成二进制11010.0规格化二进制数1.10100*2^4计算指数4+127=131符号位 指数部分 尾数部分0 10000011 10100000000000000000000以单精度（real*4）浮点格式存储该数0100 0001 1101 0000 0000 0000 0000 00000x41D0 0000[例4.2]：0.75十进制0.75转换成二进制0.11规格化二进制数1.1*2^-1计算指数-1+127=126符号位 指数部分 尾数部分0 01111110 10000000000000000000000以单精度（real*4）浮点格式存储该数0011 1111 0100 0000 0000 0000 0000 00000x3F40 0000[例4.3]：-2.5十进制-2.5转换成二进制-10.1规格化二进制数-1.01*2^1计算指数1+127=128符号位 指数部分 尾数部分1 10000000 01000000000000000000000以单精度（real*4）浮点格式存储该数1100 0000 0010 0000 0000 0000 0000 00000xC020 0000附：IEEE754 Converte 1.0介绍用IEEE754 Converte 1.0 转换[例3.2]的截图
⑥ IEEE754标准的单精度浮点数存储形式为如下:求其浮点数的十进制真值.
按照IEEE-754标准规定，单精度浮点数用4字节存储，分为三个部分：符号位S、阶E和尾数D。阶即指数，尾数即有效小数位数。单精度格式阶占8位，尾数占24位(归一化数据去首位1结果为23位)，符号位1位，换算公式为Data = S * 2^(E-127) * (D)。
==>
1100 0001 1110 0000 0000 0000 0000 0000
==>
1位 8位 23位
S E D'(归一化去1结果）
1 100 0001 1 110 0000 0000 0000 0000 0000
1 1000 0011 110 0000 0000 0000 0000 0000
1 1000 0011 0.110 0000 0000 0000 0000 0000
==>
S E D(补1.还原归一化结果）
1 1000 0011 1+0.110 0000 0000 0000 0000 0000
1 8 3 1+0.110 0000 0000 0000 0000 0000
==>
二进制小数 0.11B => 十进制 0.5 + 0.25 = 0.75
S E D整数(2进制） D小数（2进制）
1 8 3 1+0.110 0000 0000 0000 0000 0000
1 0x83 1.110 0000 0000 0000 0000 0000
1 0x83 1 + 0.110 0000 0000 0000 0000 0000
1 131 1 + 0.75
1 131 1.75
==》
S E D
1 131 1.75
=>二进制纯小数
Data = S * 2^(E-127) * (D)
= (-1) * 2^(131-127) * (1.75)
= (-1) * (2^4) * (1.75)
= -1 * 16 * 1.75
= - 28.0
⑦ IEEE754是什么
IEEE754代码
标准表示法
为便于软件的移植，浮点数的表示格式应该有统一标准（定义）。1985年IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers）提出了IEEE754标准。该标准规定基数为2，阶码E用移码表示，尾数M用原码表示，根据原码的规格化方法，最高数字位总是1，该标准将这个1缺省存储，使得尾数表示范围比实际存储的一位。实数 的IEEE754标准的浮点数格式为：
具体有三种形式：
表3 IEEE754三种浮点数的格式参数
浮点数
类型 存储位数 偏移值( )
阶码E的取值范围 真值表达式
数符(s) 阶码(E) 尾数(M) 总位数 十六进制 十进制
短实数 1 8 23 32 7FH 127 1~254
长实数 1 11 52 64 3FFH 1023 1~2046
临时实数 1 15 64 80 3FFFH 16383 1~32766
对于阶码为0或为255（2047）的情况，IEEE有特殊的规定。
在浮点数总位数不变的情况下，其精度值与范围值是矛盾的，因此一般的机器都提供有单、双精度两种格式。表4中列出了IEEE754单精度浮点数的表示范围，对于双精度只需要修改一下偏移值和尾数位数即可。
表4 IEEE754单精度、双精度浮点数范围
典型范围 浮点数代码 真 值
数符(Ms) 阶码(E) 尾数(M)
最大正数
最小正数
绝对值最大的负数
绝对值最小的负数 0
0
1
1 11111110
00000001
11111110
00000001 11………11
00………00
11………11
00………00
标准浮点数的存储格式与图1（b）相似，只是在尾数中隐含存储着一个1，因此在计算尾数的真值时比一般形式要多一个整数1。对于阶码E的存储形式因为是 127的偏移，所以在计算其移码时与人们熟悉的128偏移不一样，正数的值比用128偏移求得的少1，负数的值多1，为避免计算错误，方便理解，常将E当成二进制真值进行存储。例如：将数值-0.5按IEEE754单精度格式存储，先将-0.5换成二进制并写成标准形式：-0.510=-0.12=-1.0×2-12，这里s=1，M为全0，E-127=-1，E=12610=011111102，则存储形式为：
1 01111110 000000000000000000000000=BE00000016
这里不同的下标代表不同的进制。
⑧ 若浮点数x的754标准存储格式为（C93B0000）（16）求其浮点数的十进制数值
1 转化为2进制
12.5（10）= 1100.1（2） = 1.1001x 2^3 （2）
2 计算阶码，单精度附点
E = 127 + 3= 130 = 10000010 （2）
3 整理尾数，23位，去掉整数部分的1
10010000000000000000000
4 加上符号位，得到32位浮点数
0 10000010 10010000000000000000000
5 写成16进制
12.5 = 0x41480000（f）
-12.5符号位为1
-12.5= 0xC1480000（f）